Tải Game , Tin tức tổng hợp,Thủ thuật máy tính,: Lớp 10

Sunday, August 5, 2012

Bất đẳng thức Côsi (Cơ bản)

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)
CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI

Trích: Diễn đàn khối 10

Nhắc lại:

* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm $a, b$ :
$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ (1)
- Cách viết tương đương: $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ . (2)
Dấu $=$ xẩy ra khi và chỉ khi $a=b$ .
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý $a, b$ , ta có:
- $a^2+b^2 \geq 2ab$ (Vì $\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ .

* Một số kết quả thường dùng:

$a+\dfrac{1}{a} \geq 2, \forall a>0$ .

Thật vậy, vì $a>0$ nên $\dfrac{1}{a}>0$ . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
$a+\dfrac{1}{a} \geq 2.\sqrt{a.\dfrac{1}{a}} = 2$ .

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2, \, \forall a, b, a.b>0$ .

Thật vậy, vì $a.b>0$ nên $\dfrac{a}{b}>0, \, \dfrac{b}{a}>0$ . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2.\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2$ .

————————————

MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi $x>1$ ta có: $4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3$ .
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?

Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng $\dfrac{1}{x-1}$ nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của $x-1$ . Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
$4x-5+\dfrac{1}{x-1}=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} -1$ (*)
Vì $x>1$ nên $x-1>0$ .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương $4(x-1), \, \dfrac{1}{x-1}$ , ta có:
$4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4(x-1)\dfrac{1}{x-1}}$
Hay $4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4}=4$ . (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
$4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 4-1 =3$ .
Vậy $4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3$ (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x-1)=\dfrac{1}{x-1}$
$\Leftrightarrow 4(x-1)^2=1 \Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{4}$
$\Leftrightarrow x-1=\dfrac{1}{2}$ (do $x-1>0$ )
$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ .
——-

Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng $(x-1)(5-x) \leq 4, \, \forall x\in [1; 5]$

Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là $(\dfrac{a+b}{2})^2 \geq ab$ . (3)
Quay lại bài tập này, với mọi $x\in [1; 5]$ thì $x-1 \geq 0, \, 5-x \geq 0$ . Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
$(\dfrac{x-1+5-x}{2})^2 \geq (x-1)(5-x)$
$\Leftrightarrow 4 \geq (x-1)(5-x)$ . (đpcm)
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x-1=5-x \Leftrightarrow x=3$ .

——————

BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. $4-3x+\dfrac{4}{1-3x} \geq 7, \, \forall x<\dfrac{1}{3}$ .
2. $1-3x+\dfrac{3}{2-x} \geq 1, \, \forall x<2$
3. Với mọi góc $0^o < \alpha < 90^o$ , ta có: $\tan\alpha + \cot\alpha \geq 2$ .
4. $(3-x)(2+x) \leq \dfrac{25}{4}, \, \forall x\in [-2; 3]$ .
5. $(2-x).(1+2x) \leq \dfrac{25}{8}, \, \forall x\in [-\dfrac{1}{2}; 2]$ .

—————

Thursday, July 19, 2012

Bí quyết để giỏi từ vựng tiếng Anh

Tiếng Anh có khoảng trên 100,000 từ vựng các loại. Vậy có bí quyết nào để giỏi từ vựng tiếng Anh mà không cần phải học và nhớ gần cả 100.000 từ?
Bí quyết đầu tiên là học những từ thông dụng nhất. Theo thông kê, thì chỉ cần bạn nắm được khoảng 3.000 từ tiếng Anh thông dụng nhất, bạn sẽ có thể hiểu được ít nhất 95% tiếng Anh trong hầu hết mọi hoàn cảnh thông thường.
So với 100.000 từ thì 3.000 từ là một con số quá nhỏ nhoi (chỉ bằng khoảng 1/33), nhưng chúng lại có thể giúp bạn hiểu được đến 95% nội dung trong hầu hết mọi hoàn cảnh thông thường. Vậy thì còn gì bằng đúng không nào?
Hãy bắt đầu học ngay từ bây giờ. Mỗi ngày chỉ cần học 5 từ, thì trong vòng 1 năm rưỡi bạn đã rất “siêu” tiếng Anh rồi. Nếu mỗi ngày bạn chịu khó học 10 từ thì chỉ trong vòng khoảng 10 tháng bạn đã thành công. Hãy cố gắng lên!

Xem 1000 từ vựng tại đây http://kenhdaihoc.com/forum/threads/7121-Bi-quyet-de-gioi-tu-vung-tieng-Anh.kdh

Sunday, August 5, 2012

Bất đẳng thức Côsi (Cơ bản)

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSICÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI

Thursday, July 19, 2012

Bí quyết để giỏi từ vựng tiếng Anh

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)
CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI